Un desafío interesante:
El problema olvidado de los postes y los gorriones

Solución:

Designemos por \( \displaystyle p \) el número de postes, y por \( \displaystyle g \) el número de gorriones. Además, clasificaremos los gorriones en dos clases: gorriones en los postes, \( \displaystyle g_p \), y gorriones volando, \( \displaystyle g_v \). Según el enunciado, el total de gorriones puede expresarse de dos maneras equivalentes:

Expresión de \( \displaystyle g \) mediante una suma:   \( g = p + n \).

El enunciado expresa que “sobre cada poste hay un gorrión”, por lo que tenemos:

\[ g_p = p \]

Además, dado que quedan \( \displaystyle n \) gorriones volando, podemos escribir:

\[ g_v = n \]

Dado que el enunciado afirma: “Si sobre cada poste hay un gorrión, quedan \( p \) gorriones volando”, podemos plantear la siguiente ecuación, que es la más simple de ver:

\[ \displaystyle g = g_p + g_v, \quad \text{es decir,} \quad g = p + n \]

Expresión de \( \displaystyle g \) como un producto: \( g = n \cdot (p - n) \).

Alternativamente, debemos interpretar: “Si sobre cada poste se posan \( \displaystyle n \) gorriones, quedan \( \displaystyle n \) postes libres”. Esto nos permite expresar el total de gorriones como el producto de dos factores. En esta formulación, \( n \) representa el número de grupos o ubicaciones en los que se distribuyen los gorriones, mientras que \( p - n \) es la cantidad de gorriones que se colocan en cada grupo.

Para comprender mejor la expresión \( n(p - n) \), a continuación se presenta una explicación detallada:

• Se asume que los gorriones se distribuyen en \( n \) grupos o ubicaciones.
• En cada grupo se asignan \( p - n \) gorriones. Esta cantidad surge al restar \( n \) del total de postes \( p \), lo que nos da la cantidad de gorriones asignados a cada grupo.
• Multiplicando el número de grupos \( n \) por la cantidad de gorriones en cada grupo \( (p - n) \), se obtiene el total: \( g = n \cdot (p - n) \).

Al igualar ambas expresiones para \( g \), se obtiene la ecuación fundamental para resolver el problema: \[ \displaystyle p + n = n \cdot (p - n). \]

Resolución de la ecuación

Para despejar \( \displaystyle p \), comencemos por aplicar la propiedad distributiva: \[ \displaystyle p + n = np - n^2. \]

Luego, trasponemos todos los términos al miembro de la izquierda: \[ \displaystyle np - n^2 - p - n = 0. \]

Ahora, agrupamos términos convenientemente:

\[ \displaystyle p(n - 1) - n(n + 1) = 0. \]

ecuación que es equivalente a:

\[ \displaystyle p(n - 1) = n(n + 1) \]

Y dado que \( n \) no puede ser 1, podemos despejar \( p \)

\[ \displaystyle p = \frac{n(n + 1)}{n - 1} \]

Condición para que \( \displaystyle p \) sea un número entero:

El denominador \( \displaystyle n-1 \) debe dividir exactamente al numerador \( \displaystyle n(n+1) \). Ahora bien, dado que \( \displaystyle n \) y \( \displaystyle n-1 \) son consecutivos, son coprimos, por lo que \( \displaystyle n-1 \) sólo puede dividir a \( \displaystyle n+1 \).

Mediante un simple denominador común, es fácil ver que: \[ \frac{n+1}{n-1} = 1 + \frac{2}{n-1} \]

Con lo cual el número 2 tiene que ser divisible entre \( \displaystyle n-1 \). En consecuencia, se presentan solo dos posibilidades:

• Caso 1:   \( \displaystyle n-1 = 1 \)   (es decir, \( \displaystyle n = 2 \))
  

  \[ \displaystyle p = \frac{ 2 \cdot 3 }{ 1 } = 6,\quad g = \frac{ 2 \cdot 2^2 }{ 1 } = 8 \]

• Caso 2:   \( \displaystyle n-1 = 2 \)   (es decir, \( \displaystyle n = 3 \))
  \[ \displaystyle p = \frac{ 3 \cdot 4 }{ 2 } = 6,\quad g = \frac{ 2 \cdot 3^2 }{ 2 } = 9 \]

Cálculo del número de gorriones

Aunque no es necesario, también podemos despejar \( \displaystyle g \) en función de \( \displaystyle n \). Partimos de:

\[ \displaystyle g = (p - n) \cdot n, \]

Tras sustituir el valor obtenido anteriormente para \( \displaystyle p \), se tiene: \[ \displaystyle g = \left(\frac{ \displaystyle n(n+1) }{ \displaystyle n-1 } - n\right)n \]

Procedemos a simplificar la expresión dentro del paréntesis: \[ \displaystyle \frac{ n(n+1) }{ n-1 } - n = \frac{ n(n+1) - n(n-1) }{ n-1 } \]

Dado que el numerador se reduce a: \[ \displaystyle n(n+1) - n(n-1) = n^2 + n - n^2 + n = 2n \]

Concluimos que: \[ \displaystyle g = \left(\frac{ 2n }{ n-1 }\right) \cdot n \]

• Es decir,
  \[ \displaystyle g = \frac{ 2n^2 }{ n-1 } \] requiere que \( \displaystyle n-1 \) divida \( \displaystyle 2n^2 \), lo que obliga a que \( \displaystyle n-1 \) divida al primo 2.

Conclusión

Los únicos valores válidos para \( \displaystyle n \) en este problema son \( \displaystyle n = 2 \) y \( \displaystyle n = 3 \). En ambos casos se obtiene:

\[ \displaystyle p = 6. \]

Y el número de gorriones es: \[ \begin{aligned} g &= 8 \quad \text{(si } n = 2\text{)}, \\ g &= 9 \quad \text{(si } n = 3\text{)}. \end{aligned} \]

El problema matemático que perduró en mi mente

Durante décadas, este desafío numérico ha estado presente en mis pensamientos. Cuando lo leí por primera vez, a simple vista, no pude discernir una forma clara de abordarlo. Sin embargo, una vez que decidí pensar en ello seriamente, logré entender la dirección en la que debería proceder su resolución. Aun así, otra pregunta me intrigaba: ¿de dónde había surgido y quién lo había planteado originalmente?

Aunque me encontré con el problema por primera vez en español, me pareció extraño que no hubiera dejado rastro en los otros idiomas en los que solía estudiar: inglés, francés, italiano o portugués. Incluso después de años dedicados a la enseñanza y la investigación matemática, nunca me topé con él en ninguna de estas fuentes. Esta ausencia me llevó a sospechar que el desafío había surgido en español o que provenía de una tradición más localizada, quizás de una rama menos conocida de las matemáticas europeas o soviéticas, ambas florecientes centros de creatividad e innovación matemática en ese momento.

El primer encuentro: un desafío en la escuela secundaria

Mi primer acercamiento a los gorriones y los postes ocurrió en la escuela secundaria, durante el primer año de los cursos preparatorios en Uruguay, una etapa que servía como puerta de entrada a los estudios universitarios.

Nuestro libro de texto recomendado era Introducción al análisis matemático de Luis Osin, un ingeniero industrial y respetado educador matemático uruguayo, publicado en 1966 por Editorial Kapelusz en Buenos Aires. Entre sus páginas, encontré un desafío que me dejó perplejo: un problema sin un solo número concreto, pero que conducía a una solución numérica precisa. Sin embargo, esta solución no se proporcionaba junto al problema en sí, sino que aparecía en un apéndice donde los autores compartían respuestas seleccionadas a ciertos ejercicios.

Lo que resultaba particularmente intrigante era que, mientras el número de postes era único, el número de gorriones admitía dos posibilidades distintas. Este no era un ejercicio algebraico rutinario, sino un verdadero rompecabezas matemático, un enigma que escondía una estructura sutil y elegante, lo que hacía que el desafío fuera aún más fascinante.

Como cualquier estudiante proactivo, inmediatamente me puse a resolverlo. Sin embargo, las herramientas matemáticas a mi disposición eran aún demasiado limitadas, y rápidamente me di cuenta de que el desafío superaba mis capacidades en ese momento. Manejar dos ecuaciones con tres incógnitas —un parámetro no especificado n, el número de postes p y el número de gorriones g resultó ser mucho más intrincado de lo que había anticipado.

En ese momento, sin embargo, mi mente estaba cautivada por otro gran misterio: el juego del ajedrez. No recuerdo el momento exacto, pero lo más probable es que, después de unos minutos de lucha, dejé el problema de lado para otro momento y me dirigí al club de ajedrez, buscando tanto entretenimiento como una distracción bienvenida después de un intenso día de clases.

Al día siguiente, cuando el profesor preguntó sobre la tarea, quedó claro que nadie había logrado resolverla. Algunos admitieron que lo habían intentado, pero fracasaron, mientras que otros se habían rendido sin mucho esfuerzo. Al darme cuenta de que esto era más que otro ejercicio rutinario de libro de texto —quizás incluso un problema de genuina sustancia matemática— regresé a casa con una motivación renovada. Decidido a entender su estructura subyacente, comencé a analizarlo más profundamente, probando valores concretos para p. Poco a poco, comencé a desentrañar su funcionamiento interno y llegué a fórmulas que parecían llevarme en la dirección correcta.

Afortunadamente, el libro de Luis Osin incluía la respuesta numérica final —proporcionando los valores para el número de postes y gorriones— pero sin explicar cómo llegar a ellos. Esto me permitió verificar que mi razonamiento iba por buen camino. Sin embargo, una pregunta quedaba en el aire: ¿había una forma más elegante de resolverlo? Presenté mi solución al profesor, quien la consideró razonable, y la vida siguió su curso. Aun así, el problema permaneció en mi mente, dejando una impresión que iba más allá de su mera resolución.

Un problema con historia

Los años transcurrieron y, con ellos, mi conocimiento matemático se expandió sin límites, adentrándose en nuevas ideas y desafíos. Sin embargo, dos preguntas seguían acechándome, incansables, resistiéndose a desvanecerse con el tiempo:

1. ¿Había una solución más directa y hermosa?

2. ¿Quién había creado un problema tan notable?

Eventualmente resolví la primera pregunta, pero la segunda permanecería como un misterio abierto durante décadas.

Cuando comencé a enseñar en la Deutsche Schule Montevideo, tuve la fortuna de compartir largas conversaciones con el profesor Jorge H. Cánepa, un brillante educador y autor de libros de texto de matemáticas. Compartíamos un enfoque riguroso de la enseñanza y una pasión por la historia de las matemáticas, lo que nos llevó a escribir juntos varios libros.

En uno de ellos, decidimos incluir el problema de los gorriones y los postes, esta vez con una solución mucho más refinada que la que había ideado a los dieciséis años. Para entonces, ya había respondido a mi primera pregunta, pero la segunda seguía persiguiéndome.

Un día, le pregunté a Jorge:

—Este problema… ¿fue una creación original de Osin, o vino de otro lugar?

Con su prodigiosa memoria, Jorge no tardó en responder:

—No, no es de Osin. Ese problema ya circulaba en la década de 1940. Estoy seguro de que lo he visto en algún libro de mi biblioteca. Dame unos días; revisaré.

No tardó mucho en encontrarlo. Pronto regresó con una referencia precisa: el problema figuraba en la obra Colección de problemas de álgebra, compilado por A. G. Ioachimescu y traducido de la cuarta edición rumana por B. I. Baidaff. Este trabajo fue publicada en Buenos Aires en 1940.

Esto abrió un nuevo abanico de interrogantes. ¿Quién era en realidad A. G. Ioachimescu, el autor? ¿Quién era B. I. Baidaff, el traductor? Y, sobre todo, ¿cuál era el verdadero origen del problema?

Rastreando el origen del rompecabezas

Pasaron los años y, con ellos, las herramientas de investigación mejoraron. Con el advenimiento de Internet, tuve una idea: traducir el problema al rumano y buscarlo en bibliotecas digitales especializadas.

Fue así como, casi milagrosamente, di con el enunciado del problema en un ejemplar de 1903 de la prestigiosa revista rumana Gazeta Matematică, una de las más destacadas del mundo en su ámbito. Allí estaba: el mismo ejercicio, transcrito por Ioachimescu. Pero lo más revelador era que, junto a él, aparecía el nombre del autor original: O. Țino.

Con una motivación renovada, descubrí que tras las iniciales "O. Țino" se escondía Ovidiu N. Țino (1881–1959), un joven estudiante en 1903 que, con el tiempo, se convertiría en un destacado matemático y profesor en la Escuela Politécnica de Timișoara. Su legado fue tan profundo que el propio Ioachimescu le rindió homenaje en la tercera edición de su Culegere de probleme de algebra (1926):

“Mi antiguo alumno, amigo y colega, el profesor Ovidiu N. Țino, amablemente se ofreció a supervisar la publicación de esta nueva edición, lo cual acepté con gusto. Él y el profesor C. Ionescu-Bujor han revisado y mejorado casi por completo los trabajos anteriores, por lo que les extiendo mi más profundo agradecimiento.”

Pero la historia no se detuvo ahí. Resultó que el traductor de la edición en español, Bernardo Ignacio Baidaff (1888–1967), no solo fue un puente entre idiomas, sino también una figura central en el desarrollo de las matemáticas argentinas. Su influencia fue tan profunda y duradera que el célebre matemático Alberto Calderón, años después, evocó con admiración:

“Los rumanos jugaron un papel crucial en mi vida: el primero fue el Dr. Save Bercovici, el segundo fue el Dr. Bernardo Baidaff, y el tercero fue mi segunda esposa, Alexandra Bellow. El Dr. Baidaff generosamente me ofreció acceso a su biblioteca y su orientación, lo que llevó a una amistad de por vida.”

Un viaje a través de generaciones

Este recorrido no se trató simplemente de resolver un rompecabezas matemático, sino de redescubrir una pieza invaluable de la historia de las matemáticas.

Desde las páginas de un libro de texto en Montevideo hasta los archivos de una prestigiosa revista rumana en Bucarest, el problema de los gorriones y los postes cruzó continentes y generaciones, conservando intacto su encanto atemporal.

Si alguien más se ha topado con este problema en fuentes fuera del rumano, me encantaría conocer su historia. Quizás, en algún rincón del mundo, aún queden más piezas por descubrir en este fascinante rompecabezas.