Un desafío matemático:

Ilustración humorística sobre el número cuadrado perfecto — — Claro, soy un cuadrado.

Problema:

Hallar un número natural de cuatro cifras de la forma \( n = \overline{aabb} \) que sea un cuadrado perfecto.

Nota: Se espera que la solución prescinda de enfoques por “fuerza bruta” y que, en cambio, se fundamente en un análisis conceptual antes de considerar la prueba de casos numéricos.

Solución:

Partiendo de la forma del número \( n = \overline{aabb}_{10} \), realizamos su descomposición posicional:

\begin{align*} n &= 1000a + 100a + 10b + b \quad \text{(por notación posicional)} \\ &= (1100a + 11b) = 11\,(100a + b) \quad \text{(factorizando)} \end{align*}

1. Criterio de divisibilidad por 11

Para analizar la expresión \(100a + b = (a0b)_{10}\), aplicamos el criterio de divisibilidad del 11:

Un número es divisible entre \(11\) si y solo si la diferencia entre la suma de sus cifras en posición impar y la suma de sus cifras en posición par es un múltiplo de \(11\).

Para el número \((a0b)_{10}\):

Primera cifra (centenas): \(a\) (posición impar)
Segunda cifra (decenas): \(0\) (posición par)
Tercera cifra (unidades): \(b\) (posición impar)

Aplicando el criterio:

(a + b) - 0 = a + b \equiv 0 \pmod{11}

Como \(a\) y \(b\) son dígitos (\(1 \leq a \leq 9\), \(0 \leq b \leq 9\)), la única posibilidad es:

a + b = 11 \quad \Rightarrow \quad b = 11 - a

2. Desarrollo algebraico

Sustituyendo en la expresión original \(n = 11(100a + b)\), se tiene:

\[ n = 11(100a + 11 - a) = 11(99a + 11) = 11^2(9a + 1) \]

Para que \(n\) sea cuadrado perfecto, \(9a + 1\) también debe ser un cuadrado perfecto. Es decir, tiene que existir un número natural \(x\) tal que \(9a + 1 = x^2\)

3. Búsqueda de soluciones

Dado que el enunciado desalienta el uso de tanteos, procuremos no recurrir a la llamada “fuerza bruta”. La vía más inmediata —aunque poco elegante— sería probar los valores posibles de \(a\) entre 0 y 9:

\(a\)	\(9a + 1\)	¿Cuadrado perfecto?
0	1	\(1 = 1^2\) Válido Pero n=121 (3 dígitos)
7	64	\(64 = 8^2\) Solución \(n = 7744 = 88^2\)
Otros valores no cumplen la condición:
1	10	✗
2	19	✗
3	28	✗
4	37	✗
5	46	✗
6	55	✗
8	73	✗
9	82	✗

4. Finezas

4.1. Intentemos una fundamentación rigurosa:

Buscamos un dígito \(a\) (es decir \(0 \le a \le 9\)) y un número natural \(x\) tales que

\[ 9a + 1 = x^2. \]

Reorganizando obtenemos

x^2 - 1 = 9\,a \quad\Longrightarrow\quad (x-1)(x+1) = 9\,a.

4.2. Observación de los factores \((x-1)\) y \((x+1)\)

Son dos números que difieren en 2 unidades.
Su máximo divisor común sólo puede ser 1 o 2.
Por tanto, no pueden compartir un factor primo 3: como mucho uno de ellos es múltiplo de 3.

4.3. ¿De dónde proviene el 9?

En el producto \((x-1)(x+1)\) debe aparecer \(3^2\). Como sólo uno de los dos factores puede aportar el 3, ese mismo factor ha de ser múltiplo de 9.
→ O bien \(x-1\) es múltiplo de 9, o bien \(x+1\) lo es.

4.4. Cota superior de \(x\)

Dado que \(a\le9\), tenemos

9a + 1 \le 9\cdot9 + 1 = 82

En consecuencia, podemos afirmar que:

x^2 \le 82 \quad\Longrightarrow\quad x < 10

4.5. Descartar que \(x-1\) sea múltiplo de 9

Si \(x-1\ge9\), entonces \(x\ge10\), pero sabemos que \(x<10\). Imposible que \(x-1\) contenga los dos factores de 3.

4.6. Concluir que \(x+1\) es múltiplo de 9

Debe cumplirse que 9 sea un divisor exacto de \(x + 1\). En términos de notación matemática, esto se expresa como:

x+1 \equiv 0 \pmod{9}.

Como estamos buscando valores de \(x\) menores que 10, la única posibilidad es:

x+1 = 9 \quad\Longrightarrow\quad x = 8.

4.7. Hallar el dígito \(a\)

Sustituimos \(x\) por 8 en la ecuación \(9a = x^2 - 1\), y obtenemos:

9a = 8^2 - 1 = 64 - 1 = 63 \quad\Longrightarrow\quad a = \frac{63}{9} = 7.

4.8. Hallar el dígito \(b\)

Sustituimos \(a = 7\) en \(b = 11 - a\), y obtenemos:

\[ b = 4 \]

5. Respuesta final

Concluimos entonces que

\[ n = 7744 \]

es el único cuadrado perfecto de la forma \( \overline{aabb} \).

Si el lector ha llegado hasta aquí, recorriendo con atención cada etapa del razonamiento, es muy probable que su interés sea suficiente como para ir un poco más lejos y explorar la historia y las fuentes originales de este problema .